|
|
 |
Условие
Даны 4 точки на плоскости A, B, C, D, не образующие прямоугольник. Пусть стороны треугольника T равны AB+CD, AC+BD, AD+BC. Докажите, что T – остроугольный.
Решение
Заметим, что (AB+CD)2+(AD+BC)2−(AC+BD)2==(AB2+BC2+CD2+DA2−AC2−BD2)++2(AB⋅CD+AD⋅BC−AC⋅BD). Вторая скобка неотрицательна по неравенству Птолемея. Обозначим →a=→OA, →b=→OB, →c=→OC, →d=→OD, где O – произвольная точка. Тогда первая скобка равна (→a−→b)2+(→b−→c)2+(→c−→d)2+(→d−→a)2−(→a−→c)2−(→b−→d)2=(→a−→b+→c−→d)2≥0. При этом первая скобка обращается в нуль тогда и только тогда, когда четырехугольник ABCD – параллелограмм, а вторая – тогда и только тогда, когда этот четырехугольник вписанный. Поскольку ABCD – не прямоугольник, оба условия не могут выполняться одновременно. Таким образом, (AC+BD)2<(AB+CD)2+(AD+BC)2. Из этого и двух аналогичных неравенств следует утверждение задачи.
Заметим, что приведенное рассуждение работает и для четырех точек, лежащих на одной прямой: первая скобка обращается в нуль, когда одна из точек A, C лежит на отрезке BD, а другая вне его; вторая, когда середины отрезков AC и BD совпадают. Оба условия выполняться одновременно не могут.
