|
|
 |
Условие
Для каких $n>0$ можно отметить на плоскости несколько различных точек и несколько различных окружностей так, чтобы были выполнены следующие условия:
- через каждую отмеченную точку проходит ровно $n$ отмеченных окружностей;
- на каждой отмеченной окружности лежит ровно $n$ отмеченных точек;
- у каждой отмеченной окружности отмечен еe центр?
Решение
Будем строить искомую конфигурацию по индукции. При $n=1$ она состоит из двух окружностей с радиусами 1, каждая из которых проходит через центр другой и их центров. Пусть конфигурация для $n$ построена и состоит из $2^n$ единичных окружностей и их центров. Сдвинем ее на единичный вектор, отличный от всех векторов между отмеченными точками. Тогда на каждой из старых окружностей появится одна новая отмеченная точка – образ ее центра, а через каждую из старых точек пройдет одна новая окружность – образ окружности с центром в данной точке. Аналогично через каждую новую точку будут проходить $n$ новых и одна старая окружность, а на каждой новой окружности будут лежать $n$ новых и одна старая точка.
Ответ
При любых.
