Задача 67397
|
|
 |
Условие
По кругу записано несколько положительных целых чисел (не менее двух). Среди любых двух соседних чисел какое-то одно больше другого в 2 раза или в 5 раз. Может ли сумма всех этих чисел равняться 2023?Решение
Рассмотрим любые два соседних числа, пусть $a$ – меньшее из них. Тогда большее равно либо 2$a$, либо 5$a$, и вместе с меньшим оно даёт либо 3$a$, либо 6$a$. Значит, сумма любых двух соседних чисел кратна 3. Дальше можно рассуждать поразному.1-й способ. Найдём для каждого числа сумму его и следующего за ним по часовой стрелке, и все эти суммы сложим. Получим, что удвоенная сумма всех чисел кратна 3. Значит, она не может равняться 4046.
2-й способ. Найдём для каждого числа его отношение к следующему за ним по часовой стрелке. Каждое такое отношение равно одному из чисел 2, $\frac12$, 5, $\frac15$, а произведение всех таких отношений равно 1. Значит, двоек среди этих отношений столько же, сколько и чисел $\frac12$, а пятёрок – столько же, сколько чисел $\frac15$ (по основной теореме арифметики). Тогда общее количество чисел чётно и их можно разбить на пары соседних. В каждой паре сумма кратна 3, поэтому и вся сумма чисел – тоже, но 2023 не делится на 3.
3-й способ. Пусть общая сумма равна 2023. Если общее количество чисел чётно, то их можно разбить на пары соседних. В каждой паре сумма кратна $3$, поэтому и вся сумма чисел – тоже, но 2023 не делится на 3. Если общее количество чисел нечётно, то выберем любое число $x$ из них, а остальные разобьём на пары соседних с суммой, кратной 3. Получим, что $x$ имеет такой же остаток от деления на 3, что и общая сумма 2023, то есть остаток 1. Но в качестве $x$ можно взять любое из чисел, поэтому все они имеют остаток 1 от деления на 3. Тогда сумма двух соседних имеет остаток 2 от деления на 3, а должна делиться на 3. Противоречие.
