Задача 67418

Темы:    [ Арифметические действия. Числовые тождества ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Если Вася делит пирог или кусок пирога на две части, то всегда делает их равными по массе. А если делит на большее число частей, то может сделать их какими угодно, но обязательно все разной массы. За несколько таких дележей Вася разрезал пирог на 17 частей. Могли ли все части оказаться равными по массе? (Объединять части нельзя.)

Решение

Пусть масса пирога была 17 унций. Сначала разделим его на куски в 2, 7 и 8 унций, затем кусок в 7 унций на куски в 1, 2 и 4 унции. Теперь будем делить все куски, кроме «единичных», пополам, пока все не станут «единичными».

Ответ

Могли.

Замечания

Разбить кусок массой 17 на единичные куски можно разными способами с помощью следующих разбиений, с учётом того, что куски 2, 4 и 8 превращаются в единичные куски делением пополам:
7 = 4 + 2 + 1;
10 = 7 + 2 + 1;
11 = 8 + 2 + 1;
12 = 7 + 4 + 1;
14 = 7 + 7 = 11 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 = 7 + 4 + 2 + 1;
17 = 14 + 2 + 1 = 12 + 4 + 1 = 11 + 4 + 2 = 10 + 4 + 2 + 1 = 8 + 7 + 2.
См. также задачу 67425.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2023/24
Номер	45
вариант
Вариант	весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1