Условие
Пять равносторонних треугольников расположены так, как показано на рисунке ниже. Три больших треугольника равны между собой и два маленьких тоже равны между собой. Найдите углы треугольника $ABC$.
Решение 1
Добавим на рисунок ещё два маленьких треугольника, как показано на рисунке. Заметим, что $AIBM$ – параллелограмм, а $L$ – его центр. При повороте на 60° против часовой стрелки вокруг точки $A$ треугольник $AML$, очевидно, переходит в треугольник $AKC$. Таким образом, в треугольнике $ABC$ имеем:
$AB = 2AL = 2AC, \angle A = 60^\circ$. Следовательно, он прямоугольный.
Решение 2
Обозначим точки как показано на рисунке. Пусть $m$ – длина стороны малого треугольника, $b$ — большого. Равносторонние треугольники с вершинами $A$ и $B$ центрально симметричны. Значит, $O$ – центр их симметрии. Поэтому $AO = OB$, $GO =OH =m$ и $EO=b$. Треугольники $CEO, CFA$ и $OHA$ равны, так как у них есть стороны $m$ и $b$ с углом 60° между ними. Следовательно, $CO = CA = OA$ и треугольник $ABC$ прямоугольный с углом $A = 60^\circ$.
Решение 3
Пристроим к малым треугольникам ещё два, достроим их до жёлтого равностороннего треугольника, как на рисунке. Видно, что жёлтые треугольники равны, значит, они переходят друг в друга при повороте на 120° вокруг центра треугольника между ними. Поэтому треугольник $ABX$ равносторонний. Симметрия относительно точки $C$ переводит отрезок $FA$ в $YX$. Следовательно, $ABC$ – половина треугольника $ABX$, отсюда получаем ответ.
Ответ
$\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 30^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
3 |
