Условие
В пространстве расположили конечный набор кругов радиуса $1$. Круги могут пересекаться друг с другом, но не проходят через центры друг друга. В центре каждого круга зажгли точечную лампочку, светящую во все стороны. Могло ли случиться, что любой луч света, выходящий из центра любого круга, упирается в какой-то другой круг?
Решение
Рассмотрим звёздчатый октаэдр (см. рисунок). Его можно рассматривать как объединение двух правильных тетраэдров с общим центром, пересекающихся по октаэдру, или как октаэдр, у которого «продлены» грани. В центре каждой грани обоих тетраэдров поместим лампочку и возьмём круги, содержащие эту грань. Ясно, что все лучи не выйдут за пределы звёздчатого октаэдра и тем более за пределы наших кругов.
Ответ
Могло.
Замечания
Аналогичные конструкции можно получить на основе додекаэдра или икосаэдра, но количество кругов будет больше. Подойдёт также любой выпуклый многогранник, у которого все двугранные углы тупые: если в плоскости каждой его грани взять большой круг с центром внутри грани, то над каждой гранью соседние круги образуют «домик», который блокирует все лучи, выходящие из центра, лежащего в этой грани, наружу многогранника, а лучи, идущие внутрь многогранника, блокируются его гранями (содержащимися в соответствующих кругах).
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2023/24 |
|
Номер |
45 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
2 |
