Задача 67440

Темы:    [ Сфера, вписанная в пирамиду ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Инверсия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Ивлев Б.М.

Вписанная сфера треугольной пирамиды $SABC$ касается основания $ABC$ в точке $P$, а боковых граней в точках $K$, $M$ и $N$. Прямые $PK$, $PM$, $PN$ пересекают плоскость, проходящую через середины боковых рёбер пирамиды, в точках $K'$, $M'$, $N'$. Докажите, что прямая $SP$ проходит через центр описанной окружности треугольника $K'M'N'$.

Решение 1

Сделаем гомотетию с центром $P$ и коэффициентом $2$. Пусть $K''$, $M''$, $N''$ – образы точек $K'$, $M'$, $N'$, $T$ – точка пересечения прямой $SK$ с плоскостью $ABC$. Тогда $TK = TP$ как касательные к сфере, и, поскольку треугольники $PKT$ и $K''KS$ подобны, то $SK'' = SK$. Аналогично $SM'' = SM$, $SN'' = SN$. Но $SK = SM = SN$ как касательные, следовательно, $S$ – центр окружности $K''M''N''$ , а середина $SP$ – центр окружности $K'M'N'$.

Решение 2

Обозначим сферу, проходящую через точки $K$, $M$, $N$, с центром в точке $S$, через $\omega$, вписанную сферу пирамиды – через $\gamma$, а плоскость, проходящую через середины рёбер пирамиды – через $\alpha$.
Сделаем инверсию с центром в точке $P$, переводящую $\gamma$ в $\alpha$. Тогда точки $K$, $M$, $N$ перейдут в точки $K'$, $M'$, $N'$. Так как $\omega \perp \gamma$, то образ $\omega$ будет перпендикулярен $\alpha$. Следовательно, образом будет сфера, построенная на окружности $(K'M'N')$ как на диаметральной окружности.
Тогда утверждение задачи следует из того, что центр инверсии, центр сферы и центр её образа лежат на одной прямой.

Замечания

Утверждение задачи является частным случаем следующего факта. Рассмотрим стереографическую проекцию сферы $S$ на плоскость $\pi$ из точки $P\in S$. Пусть $Q$ – точка вне сферы $S$, а окружность $\omega$ на $S$, образованная касательными к $S$ из $Q$, не проходит через $P$. Тогда образом $\omega$ будет окружность $\omega'$ с центром в точке пересечения плоскости $\pi$ с лучом $PQ$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2023/24
Номер	45
вариант
Вариант	устный тур
задача
Номер	5