Задача 67442

Темы:    [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Бакаев Е.В.

Дан описанный пятиугольник $ABCDE$. Центр его вписанной окружности лежит на диагонали $AC$. Докажите, что $AB + BC > CD + DE + EA$.

Решение

При симметрии относительно диаметра $AC$ касательные $AB$ и $CB$ перейдут в касательные $AE$ и $CD$ соответственно, поэтому лучи $AE$ и $CD$ пересекутся в точке $B'$, симметричной точке $B$. Так как $AB + BC = AB' + B'C$, требуемое неравенство примет вид $$ AB' + B'C > CD + DE + EA ⇔ AE + EB'+ B'D + DC > CD + DE + EA ⇔ EB' + B'D > DE,$$ что верно по неравенству треугольника.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
год/номер
Дата	2024/25
Номер	46
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1