Условие
Существует ли такая бесконечная последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., что $a_1 = 1$ и для всех натуральных $k$ выполняется равенство
$$a_k = a_{2k} + a_{3k} + a_{4k} + \ldots ?$$
Решение 1
Подходит последовательность, где $a_k = 1/k$, если $k$ степень двойки, и $a_k = 0$ иначе.
Решение 2
Положим $a_k=\frac1{k^s}$. Найдётся такое $s$, что $$\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}+\dots=1,$$
так как дзета-функция Римана
$$\zeta(s)=1+\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\frac1{5^s}+\dots$$
непрерывна при $s > 1$, причём $\zeta(2)=\frac{\pi^2}6<2$ и $\zeta(s)\rightarrow+\infty$ при $s\rightarrow 1$. Тогда
$$
a_{2k} + a_{3k} + a_{4k} + \ldots=\frac1{(2k)^s}+\frac1{(3k)^s}+\frac1{(4k)^s}+\ldots=
\frac1{k^s}\left(\frac1{2^s}+\frac1{3^s}+\frac1{4^s}+\ldots\right)=
\frac1{k^s}\cdot1=a_{k}.
$$
Ответ
Существует.
Замечания
Подойдёт любая последовательность $a_1$, $a_2$, ... с первым членом 1 и общей суммой 2, которая
мультипликативна — для любых натуральных $m$ и $n$ выполнено $a_{m\cdot n}=a_m\cdot a_n$.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
