Задача 67497
|
|
 |
Условие
На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)Решение 1
Для удобства выберем единицу измерения так, чтобы площадь каждой салфетки равнялась 1. Рассмотрим часть плоскости, покрытую салфетками. Границы салфеток делят её на несколько (пусть $k$) областей. Занумеруем эти области числами от 1 до $k$ и введём переменные $x_1$, ..., $x_k$ — искомые количества гвоздей, которые мы в итоге вобьём в соответствующие области. Если можно было бы вбивать нецелое число гвоздей, достаточно было бы в каждую область вбить число гвоздей, равное её площади! Тогда каждая салфетка была бы прибита одним гвоздём. Если все эти площади рациональные, можно домножить их на общий знаменатель и получить одно и то же целое число гвоздей в каждом круге. Но что делать, если какие-то части имеют иррациональные площади? Один из возможных путей следующий.Составим систему: для каждой салфетки просуммируем переменные, соответствующие областям, на которые разбита салфетка, и приравняем к 1. Получится система линейных уравнений с рациональными коэффициентами от переменных $x_1$, ..., $x_k$. Хоть какое-то решение у этой системы существует (например, каждую переменную можно взять равной площади соответствующей части). Докажем, что у системы есть решение в положительных рациональных числах (тогда, домножив числа на общий знаменатель, получим решение исходной задачи).
Будем решать систему методом Гаусса: выразим одну переменную из первого уравнения и подставим в остальные, затем из второго уравнения выразим следующую переменную и подставим в уравнения с 3-го по последнее, и так далее. Так дойдём до конца и получим систему, равносильную исходной.
Возможно, в каких-то уравнениях после подстановки всё сократится, и они примут вид $0=0$ — не страшно. Последнее из уравнений, в котором не всё сократится, будет тогда иметь вид $$x_i=r_i+r_jx_j+\ldots+r_nx_n,$$ где $r_j,\ldots,r_n$ — какие-то коэффициенты, которые, конечно же будут, рациональными!
Это значит, что переменным $x_j$, ..., $x_n$ мы можем придать любые значения — такие переменные называются «свободными». По их значениям мы однозначно найдём значение $x_i$. Подставив уже найденные значения в предыдущее уравнение, найдём значение очередной переменной, и так далее. Встречающиеся по дороге свободные переменные можно заменять любыми числами.
В итоге все переменные выразятся через рациональные константы и конечный набор так называемых «свободных» переменных, которым мы можем придавать любые значения, и по этим значениям однозначно получать какое-то решение системы.
Поэтому, если свободных переменных нет, то решение у системы единственное и тогда оно состоит из рациональных чисел!
Пусть свободные переменные есть. Мы можем придать каждой такой переменной $x_j$ рациональное значение, сколь угодно близкое к площади $j$-й области. Ясно, что можно взять настолько близкие к площадям положительные рациональные значения, чтобы остальные, «несвободные» переменные также получились положительными (ведь каждая несвободная переменная $x_i$ есть конечная линейная комбинация не более чем из $k$ слагаемых с фиксированными коэффициентами, и подставляя в эту комбинацию числа, очень близкие к исходным площадям, мы получим число, близкое к соответствующей площади, которая изначально положительна). В итоге получим искомое рациональное решение.
Решение 2
Разобраться с иррациональными площадями можно по-другому.Пусть $s_1$, ..., $s_k$ — площади соответствующих областей, на которые разбиты салфетки. Воспользуемся такой леммой (её доказательство можно прочитать, например, в статье С. Дориченко «О коровах, линейной алгебре и многомерных пространствах», «Квант» №5, 2012):
Пусть даны произвольные действительные числа $s_1, s_2,\ldots, s_k$. Тогда, какое бы положительное число $\varepsilon$ мы ни взяли, найдется такое натуральное число $M$, что каждое из чисел $s_1M,\ldots,s_kM$ будет отличаться от ближайшего к нему целого числа не больше, чем на $\varepsilon$.
Выберем $\varepsilon$ равным $\frac1{2k}$ и найдём нужное $M$. Тогда каждое из чисел $s_iM$ равно $N_i+\delta_i$, где $N_i$ натуральное, а $|\delta_i|\leqslant \frac1{2k}$.
Если теперь для каждой салфетки сложить домноженные на $M$ площади областей, на которые салфетка разбита, мы получим, с одной стороны, просто $M$ (так как вся площадь салфетки тоже домножилась на $M$), а с другой стороны мы получим сумму не более чем $k$ слагаемых, каждое из которых натуральное с точностью до $\frac1{2k}$. Нецелые добавки суммарно составляют тогда не более $\frac12$, и значит, взаимно уничтожаются, чтобы в итоге получилось целое число. Тогда если мы эти добавки отбросим, то для каждой салфетки сумма соответствующих натуральных чисел $N_i$ по-прежнему будет равна $M$ — одному и тому же числу! Поэтому выбрав для каждой части число гвоздей, равное соответствующему числу $N_i$, мы получим, что каждая салфетка будет прибита $M$ гвоздями.
Ответ
Всегда.Замечания
Как видно из решение, утверждение задачи верно для любого конечного числа салфеток одинаковой площади (при этом салфетки могут иметь разную форму).Если же попробовать усилить задачу в другом направлении — потребовать, чтобы в каждую салфетку-единичный круг был вбит ровно один гвоздь, утверждение перестанет быть верным — см. задачу М1390 из Задачника «Кванта» №2 за 1993 г.
