Условие
Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен $1$. Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен $1$, то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен $1$.
Решение
Пусть наш многочлен имеет вид $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$.
Предположим противное: остальные коэффициенты многочлена имеют общий простой делитель $p$. Тогда, если $s$ — целый корень многочлена, то $f(s)=0$, откуда $s^n=-(a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0)$ делится на $p$. Но тогда и $s$ делится на $p$ (так как $p$ — простое). Значит, наибольший общий делитель всех целых корней делится на $p$. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
5 |
