Условие
Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $$\{x\} > \{x^2\} > \{x^3\} > \ldots > \{x^{100}\}?$$
(Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)
Решение 1
Возьмём $x = 10^{100} + 0,1$. Тогда $$x^n = 10^{100n} + С_n^1 10^{100(n-1)}(0,1)+\ldots + C_n^{n-1}10^{100}(0,1)^{n-1} + (0,1)^{n},$$ откуда $\{x_n\} = (0,1)^{n}$ при $n \leqslant 100$.
Решение 2
Возьмём $x = 2 - \varepsilon$, где $0 < \varepsilon < 2^{-200}$. Тогда $$x^n = 2^n - 2^{n-1}n\varepsilon + R\varepsilon^2,$$ где
$$|R| < 2^{n-2}(C^2_n+C^3_n+\ldots +C^n_n)< 2^{200}$$ при $n \leqslant 100$, откуда
$$(2^{n-1}n - 1)\varepsilon < 1 - \{x^n\} < (2^{n-1}n + 1)\varepsilon < 1.$$ Следовательно,
$0 < 1 - \{x\} < 1 - \{x^2\} < \ldots < 1 - \{x^{100}\}$, что и требовалось.
Ответ
Существует.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Дата |
2024/25 |
|
Номер |
46 |
|
вариант |
|
Вариант |
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс |
|
задача |
|
Номер |
1 |
