Условие
Точка $M$ – середина катета $AC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$). Перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на биссектрису угла $ABC$, пересекает гипотенузу $AB$ в точке $N$. Докажите, что окружность, описанная вокруг треугольника $ANM$, касается биссектрисы угла $ABC$.
Решение
Пусть $P$ – проекция $M$ на биссектрису угла $B$, а $O$ – центр окружности $AMN$. Так как точки $P$ и $C$ лежат на окружности с диаметром $BM$, $\angle NMA = \angle PBC = \angle ABP$. Тогда $\angle AON = \angle ABC$ и $\angle MAO = 90^\circ - \angle ABC/2 - \angle BAC = \angle NMA$, т.е. $AO \perp BP$. Касательная к окружности в точке $Q$, противоположной $A$, образует с $AB$ угол равный $90^\circ -\angle QAN = \angle QBA$ и, следовательно, совпадает с $BP.$
Источники и прецеденты использования
