Условие
Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ с точкой пересечения диагоналей $P$ на отрезках $AC$, $BD$ отмечены точки $K$ и $L$ соответственно. При этом $CK = AP$ и $DL = BP$. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей $ALC$ и $BKD$, содержит центр масс четырехугольника $ABCD$.
Решение
Пусть $M$, $N$ – середины $AC$ и $BD$ соответственно, $Q$ – вторая точка пересечения $AC$ с окружностью $BKD$.
Тогда степени точки $M$ относительно окружностей $ALC$ и $BKD$ равны соответственно $AC^2/4$ и $MK \cdot MQ$. При этом
$$MK = MP = PK/2 = (PA - PC)/2,$$
$$MQ = PB \cdot PD/PK = PA \cdot PC/(PA - PC).$$
Отсюда получаем, что разность степеней равна $AP \cdot PC/4$. Аналогично получаем, что разность степеней точки $N$ относительно этих окружностей равна
$$-PB\cdot PD/4 = -PA \cdot PC/4.$$
Поскольку разность степеней – линейная функция, середина отрезка $MN$ лежит на радикальной оси окружностей.
Источники и прецеденты использования
