Условие
Будем говорить, что множество $M$ точек плоскости
содержит дыру, если существует круг, не содержащийся в $M$, но содержащийся внутри многоугольника, граница которого лежит в $M$. Можно ли представить плоскость в виде объединения $n$ таких выпуклых множеств, что объединение любых $n - 1$ из них имеет дыры?
Решение
Пусть $n = 6$; множество $M_0$ – это правильный пятиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5$, а множества $M_i$, $i = 1$, ... , $5$ – полуплоскости ограниченные прямыми $A_iA_{i+1}$ ($A_{i+5} = A_i$), не содержащие пятиугольник. Тогда объединение всех множеств $M_i$ – вся плоскость, объединение пяти множеств $M_1$, ... , $M_5$ – плоскость без пятиугольника $M_0$, а объединение пяти множеств без множества $M_i$ – плоскость без треугольника, образованного прямыми $A_{i-1}A_i$, $A_iA_{i+1}$ и $A_{i+1}A_{i+2}$.
Ответ
Да.
Замечания
Жюри неизвестно, существуют ли примеры для $n < 6$.
Источники и прецеденты использования
