Задача 67554

Темы:    [ Построения одной линейкой ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Блинков А.Д.

Из бумаги вырезан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором $AB=AE$, $\angle A=\angle B=\angle E=90^{\circ}$, $BC=3$, $CD=5$, $DE=2$. Постройте перпендикуляр из $A$ на прямую $CD$, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий. Линии можно проводить только внутри пятиугольника.

Решение

Окружность с центром $A$ и радиусом $AB$ касается прямых $BC$ и $DE$. Поскольку $CB+DE=CD$, эта окружность касается также прямой $CD$, т.е. $CA$ и $DA$ – биссектрисы углов $C$ и $D$ соответственно и $\angle CAD=45^{\circ}$. Пусть $AK$ – высота треугольника $ACD$, а $M$, $N$ – точки пересечения прямой $BE$ с $AC$ и $AD$ соответственно. Тогда $BC$=$CK$, $DE=DK$ и $\angle CKM=\angle CBM=\angle DEN=\angle DKN=45^{\circ}=\angle A$. Следовательно, $DM$ и $CN$ – тоже высоты треугольника $ACD$.

Отсюда получаем следующее построение:

1–3. Проводим прямые $AC$, $AD$, $BE$ и отмечаем точки $M$, $N$.

4–5. Проводим прямые $DM$, $CN$ и отмечаем точку $H$ их пересечения.

6. Проводим искомую прямую $AH$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2025
класс
Класс	8
задача
Номер	8.8