Условие
На плоскости отметили несколько точек и раскрасили их в четыре цвета так, что никакие три разноцветные точки не лежат на одной прямой и на любой окружности, проходящей через точки трех разных цветов, лежит еще ровно одна отмеченная точка, окрашенная в четвертый цвет. Обязательно ли все отмеченные точки лежат на одной окружности?
Решение
Рассмотрим полный четырехсторонник, образованный прямыми $A_1B_1$, $A_1B_2$, $A_2B_1$, $A_2B_2$. Пусть прямые $A_1B_1$ и $A_2B_2$ пересекаются в точке $C_1$, а прямые $A_1B_2$ и $A_2B_1$ в точке $C_2$. Тогда окружности $A_1B_1C_2$, $A_1B_2C_1$, $A_2B_1C_1$, $A_2B_2C_2$ пересекаются в
точке Микеля, обозначим ее через $D_2$. Сделаем инверсию с центром в произвольной точке $D_1$, не лежащей на построенных прямых и окружностях, и покрасим в первый цвет образы точек $A_1$, $A_2$, во второй образы точек $B_1$, $B_2$, в третий образы точек $C_1$, $C_2$ и в четвертый $D_1$ и образ $D_2$. Эти восемь точек удовлетворяют условию задачи.
Ответ
Нет.
Замечания
Задачу также можно решить, используя сложение точек на циркулярной кубике. Пусть произвольная окружность пересекает такую кубику в точках $A$, $B$, $C$, $D$, а $K_1$, $K_2$, $K_3$ – три точки кубики, удовлетворяющие условию $2K_i=0$. Тогда, покрасив в один цвет точки $A$, $A+K_i$, в другой $B$, $B+K_i$, в третий $C$, $C+K_i$ и в четвертый $D$, $D+K_i$, получим удовлетворяющую условиям задачи конфигурацию из $16$ точек.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина |
|
год |
|
Год |
2025 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
9.2 |
