|
|
 |
Условие
Ваня: Таня, какой у тебя номер телефона?Таня: А ты отгадай! Это 10-значное число. В нём встречаются все цифры, кроме одной.
Ваня: Ну, таких чисел много...
Таня: Но оно очень красивое! Смотри: если стереть две его последние цифры, оставшееся число разделится на 2, если стереть три последние цифры — разделится на 3, и т. д., если стереть 9 последних цифр — разделится на 9.
Ваня (подумав): Что-то у меня всё равно несколько вариантов получается...
Таня: А если ничего не стирать, тогда на 11 разделится!
Ваня: Вот теперь точно знаю!
Отгадайте и вы Танин номер телефона. Напишите, как вы рассуждали.
Решение
Будем решать задачу с конца. Если стереть 9 последних цифр, останется одна цифра, которая должна делиться на 9. Так как с нуля число начинаться не может, то первая цифра — девятка. Если стереть 8 последних цифр, то останется двузначное число, начинающееся с 9, которое делится на 8, — это только 96. Если стереть 7 последних цифр, то останется трёхзначное число, которое начинается с 96 и делится на 7, — это только 966. Шестёрки повторились, значит, все остальные цифры должны быть разными и отличными от 6 и 9. Действуем далее таким же образом — к известному началу числа приписываем по цифре (неизвестную цифру обозначим звёздочкой), чтобы соблюдалось очередное условие делимости.Число 966* должно делиться на 6, из 9660 и 9666 годится только 9660.
Число 9660* должно делиться на 5, из 96600 и 96605 годится только 96605.
Число 96605* должно делиться на 4, из 966052 и 966056 годится только 966052.
Число 966052* должно делиться на 3, из 9660522, 9660525 и 9660528 годится только 9660528.
Число 9660528* должно делиться на 2, у нас осталась только одна незанятая чётная цифра, выбираем 96605284.
Осталось дописать две различные цифры, причём использовать мы можем только 1, 3 и 7. Число 9660528471 делится на 11 ($9660528471=11 \cdot 878229861$), остальные же возможные числа 9660528413, 9660528417, 9660528431, 9660528437 и 9660528473 отличаются от 9660528471 на 58, 54, 40, 34 и 2 соответственно, так что делиться на 11 не будут.
Делимость на 11 можно проверить, просто разделив в столбик, но можно и воспользоваться признаком делимости на 11: чтобы проверить, делится ли многозначное число на 11, находят сумму цифр, стоящих на нечётных местах, и сумму цифр, стоящих на чётных. Если разность этих двух сумм делится на 11, то делится и само число. Например, в Танином номере сумма цифр на нечётных местах равна $9+6+5+8+7=35$, а на чётных $6+0+2+4+1=13$. Разность $35 − 13 = 22$ делится на 11, значит, и 9660528471 тоже.
