Условие
Каждое число натурального ряда барон Мюнхгаузен покрасил в синий, красный либо белый цвет (все цвета присутствуют). Он утверждает, что сумма любых 99 красных слагаемых — синяя, а сумма любых 99 синих слагаемых — красная (слагаемые в каждой сумме не обязательно различны). Могут ли слова барона быть правдой?
Решение
Например, если красные — это все числа, дающие остаток 1 при делении на 100, синие — все числа, дающие остаток $-1$ при делении на 100, а белые — все остальные.
Ответ
Могут.
Замечания
Можно взять любой делитель $k$ числа 100, больший 2, и сделать красными все числа, сравнимые с 1 по модулю $k$, синими — все числа, сравнимые с $-1$ по модулю $k$, а белыми — все остальные. Так как сумма 100 чисел, сравнимых с 1 по модулю $k$, делится на $k$, то сумма 99 таких чисел будет сравнима с $-1$ по модулю $k$, то есть, сумма любых 99 красных чисел синяя (аналогично, сумма любых 99 синих чисел красная).
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Турнир городов |
|
год/номер |
|
Номер |
47 |
|
Дата |
2025/2026 |
|
вариант |
|
Вариант |
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс |
|
задача |
|
Номер |
4 |
