|
|
 |
Условие
Коля выписал на доске число $111\ldots111$ ($60$ единиц). Оля выбрала какие-то $30$ подряд стоящих единиц и заменила каждую из них на восьмёрку. Докажите, что полученное $60$-значное число делится на $999\ldots999$ ($30$ девяток).
Решение 1
Разобьём полученное 60-значное число на два тридцатизначных числа $A$ и $B$, записанных подряд.
Заметим, что если на каком-то месте в числе $A$ стоит $1$, то на таком же месте в числе $B$ стоит $8$, и наоборот. Поэтому
сумма $A+B$ равна $\underbrace{9\ldots9}_{30}$. Осталось заметить, что наше число равно $$A\cdot10^{30} +B = A\cdot(\underbrace{9\ldots9}_{30}+1)+B=A\cdot\underbrace{9\ldots9}_{30}+(A+B)=(A+1)\cdot\underbrace{9\ldots9}_{30}.$$
Решение 2
Заметим, что $1\ldots1\underbrace{8\ldots8}_{30}1\ldots1=\underbrace{1\ldots1}_{60}+\underbrace{7\ldots7}_{30}0\ldots0= \underbrace{1\ldots1}_{30}\cdot(10^{30}+1+70\ldots0)$. Независимо от количества нулей сумма цифр второго множителя равна 9. Значит, наше число делится на $\underbrace{1\ldots1}_{30}\cdot9$.
