|
|
 |
Условие
В прямоугольнике $ABCD$ расположены 7 кругов. Два круга радиуса 2 касаются друг друга и стороны $BC$, причём один из них касается ещё и стороны $AB$, а другой — диагонали $AC$. Остальные 5 кругов имеют радиус 1 и все касаются стороны $AD$, образуя цепочку: соседние круги касаются друг друга, причём один из крайних кругов цепочки касается ещё и стороны $CD$, а другой — диагонали $AC$. Найдите длины сторон прямоугольника $ABCD$.
Решение 1
Проведём общую вертикальную касательную ко второму и третьему малым кругам (считая слева) до пересечения с диагональю. Получим треугольник $NMA$, подобный треугольнику $ABC$, причём в них «одинаково» вписаны две окружности, только радиусы окружностей отличаются в два раза. Значит, $NMA$ подобен $ABC$ с коэффициентом $\frac12$. Поэтому $M$ — середина $AD$, и так как $MD=6$, то $AD = 12$.
Проведя общую вертикальную касательную к большим окружностям, мы увидим внизу прямоугольный треугольник (назовём его $\Delta$) с горизонтальным катетом длины 4 и вписанной окружностью радиуса 1.
Такой треугольник единственный (мы располагаем окружность радиуса 1 внутри прямого угла, касающуюся его сторон, откладываем на одной из сторон угла расстояние 4 от вершины и проводим из полученной точки касательную к кругу, продолжая до пересечения со второй стороной прямого угла в однозначно определённой точке).
Но треугольник со сторонами 3, 4, 5 подходит, так как его площадь, с одной стороны, равна половине произведения основания и высоты, $\frac12\cdot3\cdot4=6$, а с другой стороны равна произведению радиуса $r$ вписанной окружности и полупериметра $p$, где $p=\frac12{(3+4+5)}=6$, откуда $6=6r$, то есть как раз $r=1$. В силу единственности треугольник со сторонами 3, 4, 5 и есть наш треугольник $\Delta$. Тогда его вертикальный катет равен 3, и так как этот треугольник подобен треугольнику $ACD$ с коэффициентом $\frac13$, то $CD = 9$.
Решение 2
Введём обозначения: $AD = w$, $CD = h$, $AC = k = \sqrt{w^2 + h^2}$, точка $O$ — центр левого маленького круга. Запишем очевидное равенство площадей:
$$S_{ACD} = S_{AOD} + S_{AOC} + S_{COD}. \tag{1}$$
Теперь найдём эти площади, везде используя формулу «$\frac12\cdot\text{высота}\cdot\text{сторона}$» и домножив все равенства на 2:
$$2S_{ACD} = hw,\qquad 2S_{AOD} = w\cdot1, 2S_{AOC} = k\cdot1,\qquad 2S_{COD} = h\cdot9.$$
Подставив в (1), получаем $$h(w-9) - w = k.\tag{2}$$
Аналогично, рассмотрев треугольник $ACB$, имеем ($S$ — центр правого большого круга):
$$S_{ACB} =S_{CSB}+ S_{ASC} + S_{ASB}, \tag{3}$$
$$ \text{откуда}\qquad 2S_{ACB} = hw,\qquad 2S_{CSB} = w\cdot2,\qquad 2S_{ASC} = k\cdot2,\qquad 2S_{ASB} = h\cdot6,$$ и, подставляя в равенство (3), получаем $$w(h-2) - 6h = 2k.\tag{4}$$
Из (2) и (4) имеем: $2h(w-9) - 2w = w(h-2) - 6h$, откуда $hw=12h$, то есть $w=12$. Вспомнив, что $k = \sqrt{w^2 + h^2}$, перепишем (2) в виде $3h-12= \sqrt{12^2 + h^2}$, откуда $9h^2-72h=h^2$, то есть $8h=72$ и $h=9$.
Ответ
12 и 9.
