|
|
 |
Условие
В каждой клетке доски $N\times N$ стоит по шкатулке. В одной из них лежит приз. Пустая шкатулка весит 100 граммов, а вес шкатулки с призом равен суммарному весу всех шкатулок в соседних с ней по стороне клетках. У ведущего есть двухчашечные весы без гирь, на каждую чашу помещается сколько угодно шкатулок. За одну попытку можно указать ведущему, какие шкатулки положить на какую чашу (а какие не взвешивать), и он сообщит результат: будут ли весы в равновесии, а если нет — какая чаша перевесит. За какое наименьшее количество попыток можно гарантированно узнать, сколько весит приз, если
а) $N=4$;
б) $N=7$?
(Узнавать, в какой именно шкатулке лежит приз, не требуется.)
Решение
а) На левую чашу положим 4 центральные шкатулки, на правую — 4 угловые. Если перевесит левая чаша, приз на ней и весит 300 г; если правая — приз на ней и весит 100 г; если весы в равновесии, приз остался на доске и весит 200 г.
б) На левую чашу положим 25 внутренних шкатулок, на правую — 24 оставшиеся. Если приз во внутренней шкатулке, то левая чаша перевесит (и приз весит 300 г); если в угловой, то будет равновесие (и приз весит 100 г); если в «боковой», то правая чаша перевесит (и приз весит 200 г).
Ответ
За одну попытку в каждом из пунктов.
Замечания
- При любом $N\geqslant3$, кроме $N=5$, можно узнать, сколько весит приз, всего за одну попытку (докажите это!), и только для $N=5$ нужны две попытки.
- а) 2 балла; б) 3 балла.
