ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73541
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Перед вами часы. Сколько существует положений стрелок, по которым нельзя определить время, если не знать, какая стрелка часовая,
а какая – минутная?

Решение 1

Зададим положение минутной стрелки y как функцию от положения часовой стрелки x. График этой функции изображен на рисунке синим цветом. Этот график – множество всех положений стрелок (x, y), которые могут встретиться на циферблате часов.

Нас интересуют такие пары  (x, y),  для которых пара  (y, x)  тоже принадлежит этому множеству. Но точка  (y, x)  – это точка, симметричная  (x, y)  относительно биссектрисы угла xOy. На рисунке множество точек, симметричных синим точкам, отмечено красным цветом. Остается найти число точек пересечения синих и красных отрезков (не считая точек, лежащих на биссектрисе  x = y).  Легко видеть, что их 132, то есть 66 пар точек, симметричных относительно биссектрисы.


Решение 2

Положим рядом с нашими часами (справа) другие, воображаемые, которые идут ровно в 12 раз быстрее. Пустим и те и другие часы одновременно, когда они показывают 12 часов; тогда часовая стрелка правых часов все время совпадает с минутной левых. Ясно, что интересующие нас "неразличимые" положения стрелок – в точности те, когда часовая стрелка левых совпадает с минутной правых, быстрых часов. Из 144 оборотов, которые сделает минутная стрелка правых часов за то время, пока часовая стрелка "нормальных" сделает один оборот, на каждом обороте произойдет одно совпадение (включая начальную точку первого оборота); из них нужно исключить 12 случаев, когда совпадают все четыре стрелки, – остается 132.


Ответ

132 положения.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1970
выпуск
Номер 2
Задача
Номер М6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .