|
|
 |
Условие
Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?
Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.
Решение
Решение.
На рисунке изображен выпуклый 12 -угольник, который разрезан диагоналями на
5 частей: 8 -угольник и четыре треугольника. Каждая прямая пересекает
не более двух из этих треугольников. Действительно, прямая пересекающая
треугольник, должна пересечь по крайней мере одну из его сторон, общую
с 12 -угольником; с другой стороны, прямая может пересечь не более двух (не
соседних) сторон выпуклого многоугольника. Точно так же, если
A1 A2 ...A3n – выпуклый 3n -угольник, то любая прямая пересекает
не более двух из треугольников A1 A2 A3 , A4 A5 A6 , A7 A8 A9 ,
... , A3n-2 A3n-1 A3n .
Теперь покажем, как можно разбить требуемым образом треугольник (рис.7).
Проведем прямые, отсекающие три треугольника первого ранга,
так, чтобы остался правильный 6 -угольник. От каждой его вершины отрежем по
треугольнику второго ранга, так, чтобы остался правильный
12 -угольник. От каждой его вершины отрежем треугольник третьего
ранга, чтобы остался правильный 24 -угольник, и так 19 раз. После
отрезания от вершин 3 · 2k-1 -угольника 3 · 2k-1 треугольников
k -го ранга остается правильный 3 · 2k -угольник ( k=1, 2,
... 19 ).
Любая прямая пересекает не более двух треугольников каждого ранга и еще,
быть может, оставшийся 3 · 219 -угольник, т.е. всего не более
1+2 · 19=39 многоугольников. Общее число всех многоугольников, на
которые разбит треугольник, равно
Ответ
