Задача 73558

Темы:    [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Для любого натурального числа n, большего единицы, квадрат отношения произведения первых n нечётных чисел к произведению первых n чётных чисел больше числа ¹/_4n, но меньше числа ³/_8n. Докажите это.

Решение

Автор: Григорьев Д.Ю.

  Рассмотрим вместе с данным выражением     следующее:  
  Ясно, что  P_n > Q_n  и, следовательно,  
  С другой стороны,     поэтому  

Замечания

Из доказанных неравенств следует, что величина     заключена между ½ и     Можно доказать (см., например, задачи 145, 160, 161 в книге А.М. Яглома и И.М. Яглома "Неэлементарные задачи в элементарном изложении", ГИТТЛ, М., 1954), что  

.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1970
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М23