Задача 73602

Темы:    [ Объем шара, сегмента и проч. ] [ Объем круглых тел ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Условие

Ювелиру заказали золотое кольцо шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром О и поверхностью цилиндра радиусом r, ось которого проходит через точку О. Мастер сделал такое колечко, но выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если r нужно увеличить в k раз, а ширину h оставить прежней?

Решение

Нетрудно доказать, что объем шарового кольца– тела, получающегося при вращении сегмента AB вокруг диаметра MN , не пересекающего этот сегмент,– равен π/6 AB² · A₁ B₁ , где A₁ B₁ – проекция хорды AB на диаметр MN . Эта формула приводится, например, в книге Ж.Адамара "Элементарная геометрия", ч.II, гл.IV, 500. Объем колечка равен π/6 h³ , т.е. не зависит от радиуса r , так что золота мастеру добавлять не придется.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	2
Задача
Номер	М67