Условие
Ювелиру заказали золотое кольцо
шириной h, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с
центром О и поверхностью цилиндра
радиусом r, ось которого проходит через
точку О. Мастер сделал такое колечко, но
выбрал r слишком маленьким. Сколько золота ему придётся добавить, если
r нужно увеличить в
k раз, а
ширину h оставить прежней?
Решение
Нетрудно доказать, что объем шарового кольца– тела, получающегося
при вращении сегмента
AB вокруг диаметра
MN , не пересекающего этот
сегмент,– равен
π/6
AB2 · A1 B1 , где
A1 B1 –
проекция хорды
AB на диаметр
MN . Эта формула приводится, например,
в книге Ж.Адамара "Элементарная геометрия", ч.II, гл.IV, 500.
Объем колечка равен
π/6
h3 , т.е. не зависит от радиуса
r ,
так что золота мастеру добавлять не придется.
Источники и прецеденты использования
