|
Название задачи: Числа-автоморфы. |
 |
Условие
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа 76² = 5776 – это снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все такие трёхзначные числа A, что последние три цифры числа A² составляют число А.
в) Существует ли такая бесконечная последовательность цифр a1, a2, a3, ..., что для любого натурального n квадрат числа anan–1...a2a1 оканчивается на эти же n цифр? Очевидный ответ a1 = 1 и 0 = a2 = a3 = ... мы исключаем.
Решение
а) Если A² оканчивается теми же двумя цифрами, что и A, то A² – A = A(A – 1) делится на 100 = 25·4, а поскольку числа A и A – 1 взаимно просты, то одно из них должно делиться на 25, а другое – на 4. Попробуем, подходит ли каждое из чисел 25, 50 и 75 на роль A или на роль A – 1 (оба эти числа двузначны). Для этого нужно лишь проверить, какие из соседних с ними чисел делятся на 4. Это будут только 76 и 24, поэтому A может равняться только 25 и 76.
б) – в) Утверждение. Если квадрат числа B = an–1an–2...a1 оканчивается на an–1an–2...a1, то можно и притом единственным образом выбрать цифру an так, чтобы квадрат числа A = anan–1...a1 оканчивался на anan–1...a1.
Доказательство. Пусть B² = ...bnan–1...a1. Тогда (n ≥ 2 ⇒ 2n > n + 1) A² = (10nan + B)² = 102nan + 2·10nanB + B² = ...cnan–1...a1, где cn – последняя цифра числа 2ana1 + bn. Нужно подобрать an так, чтобы cn равнялось an, то есть чтобы 2ana1 + bn – an = (2a1 – 1)an + bn делилось на 10. Если a1 = 5, то an = bn, а если a1 = 6, то an = 10 – bn при bn > 0 и an = 0 при bn = 0.
Поэтому в б) получаем числа 625 и 376 (76² = 5766), а в в) последовательности ...8212890625 и ...1787109376.
Ответ
а) Есть; б) 376 и 625; в) существует.
Замечания
Доказанное утверждение можно сформулировать еще так: из разрешимости сравнения x² – x ≡ 0 по модулю 10n следует его разрешимость по модулю 10n+1. Это утверждение мы использовали для того, чтобы построить два нетривиальных решения уравнения x² – x = 0 в 10-адических числах.
