|
|
 |
Условие
Петя собирается все 90 дней каникул провести в деревне и при этом каждый второй день (то есть через день) ходить купаться на озеро, каждый третий – ездить в магазин за продуктами, а каждый пятый день – решать задачи по математике. (В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети "приятных" дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? Сколько "скучных", когда совсем не будет никаких дел?
Решение
Занумеруем дни числами от 0 до 89. Петя купается в дни с чётными номерами, ездит в магазин в дни с номерами, кратными 3, и решает задачи в дни, с номерами, кратными 5.
Таким образом, нам следует ответить на два вопроса:
1) сколько существует чётных чисел от 0 до 89, которые не делятся ни на 3, ни на 5;
2) сколько существует нечётных чисел от 0 до 89, которые не делятся ни на 3, ни на 5?
Ответы на эти вопросы одинаковы. Действительно, разобьём наши числа на пары с разностью 45: {0, 45}, {1, 46}, ..., {44, 89}. В каждой паре – два числа разной четности, при этом если одно из чисел пары не делится ни на 3, ни на 5, то и второе тоже.
Поэтому достаточно ответить на вопрос 1).
Заметим, что чётных чисел от 0 до 89 ровно половина, то есть 45. Из них каждое третье кратно 3 (всего 15 чисел), каждое пятое кратно 5 (9 чисел) и каждое пятнадцатое кратно 15 (3 числа). Таким образом, чётных чисел, кратных либо 3, либо 5, ровно 15 + 9 – 3 = 21 (мы вычитаем 3, так как в сумме 15 + 9 числа, кратные 15, сосчитаны дважды). Значит, интересующих нас чисел 45 – 21 = 24.
Замечания
Знатоки могут сразу применить формулу включения-исключения. Источники и прецеденты использования
