ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 73712
Темы:    [ Иррациональные уравнения ]
[ Замена переменных (прочее) ]
[ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Темиров Т.

Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число,  n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел  xn – an  и  2an – xn  равна числу a.


Решение

  Разберём сначала особый случай  a = 0.  Получаем:   + = 0.
  Если n чётно, то единственным решением будет  x = 0  (иначе один из корней не имеет смысла). Если же n нечётно, то любое x будет решением.
  Пусть теперь  a ≠ 0.  Обозначив    через y, а a – y через z, получаем систему:  y + z = a,  yn + zn = an.
  Пусть  y = a,  z = 0  или  y = 0,  z = a.  В этих случаях оба равенства выполняются. Посмотрим, какие это даёт ответы. Вычислим  x:  xn = 2an  или  xn = an.
  Эти равенства выполняются при     и  x = a,  если n нечётно, и при     и  x = ± a,  если n чётно, (в этом случае  a ≥ 0).  Подставляя эти значения x в исходное уравнение, получаем в обоих случаях одно и то же:   = a.
  Докажем теперь, что при  a ≠ 0  либо y, либо z равно нулю. Достаточно рассмотреть случай  a > 0, y ≥ z.  Действительно, если  (y, z, a)  – решение системы, то и  (– y, – z, – a)  – также её решение. Далее, если в решении поменять значения y и z местами, то получим снова решение. Рассмотрим два случая.
  а)  z > 0.  Но тогда равенство  yn + zn = (y + z)n  невозможно.
  б)  z = – w < 0.  При чётном n система принимает вид
    y – w = a,
    yn + wn = an
.
  Решений нет: из первого уравнения  y > a,  откуда  yn + wn > yn > an.
  При нечётном n система принимает вид
    y – w = a,
    yn – wn = an
,
или
    a + w = y,
    an + wn = yn
,
что аналогично случаю а).


Ответ

Если n нечётно, то при  a ≠ 0   x1 = a x2 = a;  при  a = 0   x – любое.
Если n чётно, то при  a > 0   x1,2 = ± a x3,4 = ± a;  при a = 0   x = 0,  а при  a < 0  решений нет.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1972
выпуск
Номер 12
Задача
Номер М177

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .