|
|
 |
Условие
Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.
Решение
Разберём сначала особый случай a = 0. Получаем:
+
= 0.
Если n чётно, то единственным решением будет x = 0 (иначе один из корней не имеет смысла). Если же n нечётно, то любое x будет решением.
Пусть теперь a ≠ 0. Обозначив через y, а a – y
через z, получаем систему: y + z = a, yn + zn = an.
Пусть y = a, z = 0 или y = 0, z = a. В этих случаях оба равенства выполняются. Посмотрим, какие это даёт ответы. Вычислим x: xn = 2an или xn = an.
Эти равенства выполняются при и x = a, если n нечётно, и при
и x = ± a, если n чётно, (в этом случае a ≥ 0). Подставляя эти значения x в исходное уравнение, получаем в обоих случаях одно и то же:
= a.
Докажем теперь, что при a ≠ 0 либо y, либо z равно нулю. Достаточно рассмотреть случай a > 0, y ≥ z. Действительно, если (y, z, a) – решение системы, то и (– y, – z, – a) – также её решение. Далее, если в решении поменять значения y и z местами, то получим снова решение. Рассмотрим два случая.
а) z > 0. Но тогда равенство yn + zn = (y + z)n невозможно.
б) z = – w < 0. При чётном n система принимает вид
y – w = a,
yn + wn = an.
Решений нет: из первого уравнения y > a, откуда yn + wn > yn > an.
При нечётном n система принимает вид
y – w = a,
yn – wn = an,
или
a + w = y,
an + wn = yn,
что аналогично случаю а).
Ответ
Если n нечётно, то при a ≠ 0 x1 = a , x2 = a; при a = 0 x – любое.
Если n чётно, то при a > 0 x1,2 = ± a , x3,4 = ± a; при a = 0 x = 0, а при a < 0 решений нет.
