Задача 73717

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Докажите, что если
  а) a, b и c – положительные числа, то  

  б) a, b, c и d – положительные числа,  

  в) a₁, ..., a_n – положительные числа  (n > 1),  то  

Решение

  в). Обозначим  s = a₁ + a₂ + ... + a_n,  b_i = s – a_i. Нам нужно доказать, что     то есть что

  Первый способ. Согласно неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим (см. задачу 61402 в)

  Но  b₁ + b₂ + ... + b_n = ns – a₁ – a₂ – ... – a_n = (n – 1)s,  откуда  

  Второй способ.  
  Преобразуем так же остальные слагаемые     и все n слагаемых сложим. Потом сгруппируем попарно дроби ^b_i/_bj и ^b_j/_bi и воспользуемся неравенством  ^b_i/_bj + ^b_j/_bi ≥ 2.
  Поскольку всего таких пар будет    то в результате получим:  

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	1
Задача
Номер	М182