Задача 73737

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Васильев Н.Б.

Из последовательности  a,  a + d,  a + 2d,  a + 3d, ...,  являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d  рационально. Докажите это.

Решение

  Очевидно, можно считать, что a и d одного знака.
  1) Пусть ^a/_d  рационально, то есть равно ^s/_r , где s и r – натуральные числа (случай  a = 0  очевиден). При любом натуральном m число
(1 + r)^m – 1  делится на  (1 + r) – 1 = r,  поэтому число     – натуральное. Следовательно, каждый член геометрической прогрессии  a(1 + r)^m,  (m = 0, 1, 2, ...)  имеет вид  a(1 + r)^m = a + n_md,  то есть принадлежит арифметической прогрессии.
   2) Пусть арифметическая прогрессия  a + nd  (d ≠ 0)  содержит хотя бы три последовательных члена геометрической прогрессии:  a + kd,  a + ld,
a + md  (k < l < m).  Тогда  (a + ld)² = (a + kd)(a + md),  откуда  a(2l – k – m) = d(km – l²).
  Если  2l – k – m = 0,  то  km – l² = 0.  Но тогда  (k – m)² = (k + m)² – 4km = 4l² – 4l² = 0  и, следовательно,  k = m,  что неверно.
  Поэтому число      рационально.

Источники и прецеденты использования

журнал
Название	"Квант"
год
Год	1973
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М202