|
|
 |
Условие
а) К любому конечному множеству точек плоскости, обладающему тем свойством, что любые три точки из этого множества являются вершинами невырожденного тупоугольного треугольника, всегда можно добавить ещё одну точку так, что это свойство сохранится. Докажите это.б) Справедливо ли аналогичное утверждение для бесконечного множества точек плоскости?
Решение
а) Отметим, что для заданных точек A и B точка C , лежащая вне прямой AB и вне полосы, образованной перпендикулярами к прямой AB в точках A и B , образует с точками A и B невырожденный тупоугольный треугольник (см.рис.1). Для каждой пары точек из заданного конечного множества построим полосу и прямую в соответствии с рис.1. Конечное число полос конечной ширины и прямых, очевидно, не покроют всей плоскости, следовательно, существует точка, образующая с каждой парой точек из заданного множества тупоугольный треугольник, что и требовалось доказать.
Приведем следующий пример. Рассмотрим множество, состоящее из точек полуокружности без одного конца диаметра (рис.2). Легко видеть, что такое множество удовлетворяет условиям задачи. Докажем что к нему нельзя добавить уже ни одной точки (это почти очевидно). В самом деле, если точка лежит внутри полуокружности на ее диаметре (рис.3, точка X ), то всегда можно найти такую точку C на полуокружности, что треугольник ACX будет остроугольным. То же самое имеет место для всех точек, лежащих вне полуокружности или внутри, но вне ее диаметра (рис.4, точки X' и X'' ; соответствующие точки B' , C' и B'' , C'' выбираются "достаточно близкими"). Если же точка выбирается на диаметре вне полуокружности (рис.5, точка M ), то имеет место вырождение– на рис.5 точки M , N , K оказываются на одной прямой.
Ответ
б) вообще говоря, не справедливо.
