Задача 76213
|
|
 |
Условие
(Э. Дейкстра) Добавим в алгоритм Евклида дополнительные переменные u, v, z:
m := a; n := b; u := b; v := a;
{инвариант: НОД (a,b) = НОД (m,n); m,n >= 0 }
while not ((m=0) or (n=0)) do begin
| if m >= n then begin
| | m := m - n; v := v + u;
| end else begin
| | n := n - m; u := u + v;
| end;
end;
if m = 0 then begin
| z:= v;
end else begin {n=0}
| z:= u;
end;
Доказать, что после исполнения алгоритма значение z
равно удвоенному наименьшему общему кратному
чисел a, b:
z = 2 . НОК(a, b).
Решение
Заметим, что величина
m . u + n . v не меняется в ходе выполнения алгоритма.
Остаётся воспользоваться тем, что вначале она равна
2ab и что
НОД(a,b) . НОК(a,b) = ab.
