|
|
 |
Условие
В двух различных плоскостях лежат два треугольника: ABC и
A1B1C1. Прямая AB пересекается с прямой A1B1, прямая BC — с
прямой B1C1, прямая CA — с прямой C1A1. Доказать, что прямые
AA1, BB1 и CC1 или все три пересекаются в одной точке, или
параллельны друг другу.
Решение
Рассмотрим плоскости ABA1B1, BCB1C1 и ACA1C1. Пересечением первых двух плоскостей служит прямая BB1. Если третья плоскость пересекает прямую BB1 в некоторой точке, то эта точка является как точкой пересечения трёх указанных плоскостей, так и точкой пересечения прямых AA1, BB1 и CC1. Действительно, прямые AA1 и CC1 являются пересечениями пар плоскостей, поэтому точка пересечения трёх плоскостей им принадлежит. Если же третья плоскость параллельна прямой BB1, то прямые AA1, BB1 и CC1 параллельны друг другу. Действительно, в этом случае пересечения пар плоскостей являются тремя параллельными прямыми.
