ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76432
Темы:    [ Комбинаторика орбит ]
[ Раскраски ]
[ Правило произведения ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Куб ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.


Решение

  а) Первый способ. Предположим, что процедура окраски куба происходит следующим образом: непокрашенный куб устанавливают в станок в некоторое фиксированное положение, а затем последовательно красятся его грани в определённом порядке. Таких способов столько же, сколько перестановок 6 цветов, то есть 6!. Но установить куб в фиксированное положение можно 24 различными способами: куб можно поставить на любую из 6 граней и затем повернуть вокруг вертикальной оси любым из четырёх способов. Поэтому геометрически различных раскрасок в 24 раза меньше, то есть  6! : 24 = 30.
  Второй способ. Куб всегда можно повернуть гранью нужного (скажем, белого) цвета вниз, поэтому можно считать, что всегда в белый цвет красится именно нижняя грань. После этого у нас есть 5 способов выбрать цвет для противоположной грани. Из оставшихся четырёх цветов зафиксируем один и окрасим в него переднюю грань (другие варианты раскраски можно не рассматривать, поскольку всегда можно повернуть куб вокруг вертикальной оси в такое положение). Остаётся 3! вариантов для окраски трёх оставшихся граней.
Всего получаем  5·3! = 30  способов.

  б) Рассуждения совершенно аналогичны а) (первый способ).
  Количество всех раскрасок равно 12!. Установить додекаэдр в фиксированное положение можно 60 способами: поставить на любую
из 12 граней и затем повернуть одним из пяти способов. Поэтому ответ –  12! : 60.


Ответ

а)  30;    б)  12! : 60 = 11! : 5  раскрасок.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 09
Дата 1986
задача
Номер 15
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 1
Год 1935
вариант
Тур 2
Серия C
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .