|
|
 |
Условие
Даны прямая и две точки A и B по одну сторону от неё. Найти на прямой такую
точку M, чтобы сумма MA + MB равнялась заданному отрезку.
Решение
Пусть l — данная прямая, a — данный отрезок. Пусть, далее, S — окружность радиуса a с центром B, S' — окружность радиуса AM с центром M, A' — точка, симметричная точке A относительно прямой l. Тогда окружность S' касается окружности S, а точка A' лежит на окружности S'. Остаётся провести через данные точки A и A' окружность S', касающуюся данной окружности S, и найти её центр M. Окружность S' строится следующим образом. Можно считать, что центр окружности S не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AA' (иначе построение очевидно). Возьмём произвольную точку C окружности S и построим описанную окружность треугольника AA'C; она пересекает S в некоторой точке D. Пусть X — точка пересечения прямых AA' и CD. Проведём к окружности S касательные XP и XQ. Тогда описанные окружности треугольников AA'P и AA'Q искомые, так как XP2 = XQ2 = XA . XA'.
