Условие
Даны прямая и две точки
A и
B по одну сторону от неё. Найти на прямой такую
точку
M, чтобы сумма
MA +
MB равнялась заданному отрезку.
Решение
Пусть
l — данная прямая,
a — данный отрезок. Пусть, далее,
S —
окружность радиуса
a с центром
B,
S' — окружность радиуса
AM с
центром
M,
A' — точка, симметричная точке
A относительно прямой
l.
Тогда окружность
S' касается окружности
S, а точка
A' лежит на окружности
S'. Остаётся провести через данные точки
A и
A' окружность
S',
касающуюся данной окружности
S, и найти её центр
M. Окружность
S'
строится следующим образом. Можно считать, что центр окружности
S не лежит на
серединном перпендикуляре к отрезку
AA' (иначе построение очевидно). Возьмём
произвольную точку
C окружности
S и построим описанную окружность
треугольника
AA'C; она пересекает
S в некоторой точке
D. Пусть
X —
точка пересечения прямых
AA' и
CD. Проведём к окружности
S касательные
XP и
XQ. Тогда описанные окружности треугольников
AA'P и
AA'Q искомые,
так как
XP2 =
XQ2 =
XA . XA'.
Источники и прецеденты использования
