На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

   Решение

Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка. Доказать, что объём тетраэдра с вершинами в концах этих отрезков не зависит от положения последних.

Решение

Покажем, что объём такого тетраэдра равен abd sin, где a и b — длины отрезков, d — расстояние между скрещивающимися прямыми, — угол между ними. Рассмотрим параллелепипед, образованный плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным рёбрам. Плоскости граней исходного тетраэдра отсекают от параллелепипеда 4 тетраэдра, объём каждого из которых составляет 1/6 объёма параллелепипеда. Поэтому объём тетраэдра составляет 1/3 объёма параллелепипеда. А объём параллелепипеда легко вычисляется, поскольку его грань является параллелограммом с диагоналями a и b и углом между ними, а высота, опущенная на эту грань равна d.

Источники и прецеденты использования