Условие
По двум скрещивающимся прямым скользят два отрезка. Доказать, что объём
тетраэдра с вершинами в концах этих отрезков не зависит от положения последних.
Решение
Покажем, что объём такого тетраэдра равен
abd sin
, где
a и
b — длины отрезков,
d — расстояние между скрещивающимися прямыми,
— угол между ними. Рассмотрим параллелепипед, образованный
плоскостями, проходящими через рёбра тетраэдра параллельно противоположным
рёбрам. Плоскости граней исходного тетраэдра отсекают от параллелепипеда 4
тетраэдра, объём каждого из которых составляет 1/6 объёма параллелепипеда.
Поэтому объём тетраэдра составляет 1/3 объёма параллелепипеда. А объём
параллелепипеда легко вычисляется, поскольку его грань является
параллелограммом с диагоналями
a и
b и углом
между ними, а высота,
опущенная на эту грань равна
d.
Источники и прецеденты использования
