Условие
В пространстве расположен правильный додекаэдр. Сколькими способами можно
провести плоскость так, чтобы она высекла на додекаэдре правильный
шестиугольник?
Решение
Ответ: 30 способами. Прежде всего заметим, что для каждой из 10 больших
диагоналей додекаэдра есть ровно три различных плоскости, перпендикулярных этой
диагонали и высекающих правильный шестиугольник. Действительно, будем двигать
плоскость, перпендикулярную диагонали, от одной вершины к другой. Сначала в
сечении будет правильный треугольник, потом неправильный шестиугольник, который
в определённый момент станет правильным, потом снова неправильный
шестиугольник, который станет правильным, когда мы дойдём до центра додекаэдра;
после этого всё повторится в обратном порядке. Остаётся проверить, что
плоскость, не перпендикулярная большим диагоналям додекаэдра, не может высекать
правильный шестиугольник. Для этого нужно рассмотреть следующие случаи: 1)
параллельные стороны правильного шестиугольника лежат на двух смежных гранях;
2) параллельные стороны шестиугольника лежат на двух несмежных гранях,
граничащих с одной и той же гранью; 3) параллельные стороны шестиугольника
лежат на двух противоположных гранях. Первый случай невозможен. Второй случай
легко разбирается. В третьем случае, если учесть второй, то окажется, что
каждая пара параллельных сторон лежит на противоположных гранях. Этот случай
теперь тоже несложно разобрать.
Источники и прецеденты использования
