ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76445
Темы:    [ Разные задачи на разрезания ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

Решение

Будем поочерёдно проводить диагонали. Когда мы проводим новую диагональ, число частей, на которые проведённые ранее диагонали делят многоугольник, увеличивается на  m + 1,  где m – число точек пересечения новой диагонали с ранее проведёнными (точки пересечения делят диагональ на отрезки, каждый из этих отрезков делит одну из старых частей на две "новых"). Таким образом, каждая новая диагональ и каждая новая точка пересечения диагоналей увеличивают число частей на 1. Поэтому общее число частей, на которые диагонали делят n-угольник, на единицу больше суммы числа диагоналей (оно равно  ½ n(n – 3),  см. задачу 60391) и числа точек пересечения диагоналей (оно равно  ,  см. задачу 34981).


Ответ

На   1/24 n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + ½ n(n – 3) + 1   частей.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 3
Год 1937
вариант
Тур 2
задача
Номер 3
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 2
Название Комбинаторика
Тема Комбинаторика
параграф
Номер 3
Название Размещения, перестановки и сочетания
Тема Классическая комбинаторика
задача
Номер 02.089
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 27
Название Индукция и комбинаторика
Тема Неопределено
параграф
Номер 2
Название Комбинаторика
Тема Комбинаторика (прочее)
задача
Номер 27.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .