Условие
На сколько частей разделяют
n-угольник его диагонали, если никакие три
диагонали не пересекаются в одной точке?
Решение
Будем поочерёдно проводить диагонали. Когда мы проводим новую диагональ, число
частей, на которые проведённые ранее диагонали делят многоугольник,
увеличивается на
m + 1, где
m – число точек пересечения новой диагонали с ранее проведёнными (точки пересечения делят диагональ на отрезки, каждый из этих отрезков делит одну из старых частей на две "новых"). Таким образом, каждая новая диагональ и каждая новая точка пересечения диагоналей увеличивают число частей на 1. Поэтому общее число
частей, на которые диагонали делят
n-угольник, на единицу больше суммы числа диагоналей (оно равно ½
n(
n – 3), см. задачу
60391) и числа точек пересечения диагоналей (оно равно
, см. задачу
34981).
Ответ
На 1/24 n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + ½ n(n – 3) + 1 частей.
Источники и прецеденты использования
