|
|
 |
Условие
На сколько частей разделяют n-угольник его диагонали, если никакие три
диагонали не пересекаются в одной точке?
Решение
Будем поочерёдно проводить диагонали. Когда мы проводим новую диагональ, число
частей, на которые проведённые ранее диагонали делят многоугольник,
увеличивается на m + 1, где m – число точек пересечения новой диагонали с ранее проведёнными (точки пересечения делят диагональ на отрезки, каждый из этих отрезков делит одну из старых частей на две "новых"). Таким образом, каждая новая диагональ и каждая новая точка пересечения диагоналей увеличивают число частей на 1. Поэтому общее число
частей, на которые диагонали делят n-угольник, на единицу больше суммы числа диагоналей (оно равно ½ n(n – 3), см. задачу 60391) и числа точек пересечения диагоналей (оно равно , см. задачу 34981).
Ответ
На 1/24 n(n – 1)(n – 2)(n – 3) + ½ n(n – 3) + 1 частей.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 3 |
| Год | 1937 |
| вариант | |
| Тур | 2 |
| задача | |
| Номер | 3 |
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Размещения, перестановки и сочетания |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 02.089 |
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 27 |
| Название | Индукция и комбинаторика |
| Тема | Неопределено |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика (прочее) |
| задача | |
| Номер | 27.009 |
