ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76485
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Четность и нечетность ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an,  принимающий при  x = 0  и  x = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.


Подсказка

Докажите, что значения многочлена нечётны при всех целых x.


Решение

Пусть  P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an.  Если x – чётное число, то  P(x) ≡ an (mod 2).  Если x – нечётное число, то
P(x) ≡ a0 + a1 + ... + an (mod 2).  В обоих случаях число P(x) нечётно, поэтому оно не равно нулю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 7
Год 1941
вариант
Класс 9,10
Тур 1
задача
Номер 3
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 3
Название Сравнения
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер 04.087

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .