Задача 76485

Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами  a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n,  принимающий при  x = 0  и  x = 1  нечётные значения, не имеет целых корней.

Подсказка

Докажите, что значения многочлена нечётны при всех целых x.

Решение

Пусть  P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n–1 + ... + a_n–1x + a_n.  Если x – чётное число, то  P(x) ≡ a_n (mod 2).  Если x – нечётное число, то
P(x) ≡ a₀ + a₁ + ... + a_n (mod 2).  В обоих случаях число P(x) нечётно, поэтому оно не равно нулю.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	7
Год	1941
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	3
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.087