ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76492
Тема:    [ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найти целое число a, при котором  (xa)(x – 10) + 1  разлагается в произведение  (x + b)(x + c)  двух множителей с целыми b и c.


Решение

  Пусть  (x – a)(x – 10) + 1 = (x + b)(x + c).

  Первый способ. Положив  x = – b,  получим (b + a)(b + 10) = –1.  Поэтому либо  b + 10 = 1,  b + a = –1,  то есть  a = 8;  либо  b + 10 = – 1,  b + a = 1,  то есть  a = 12.  В первом случае  (x – 8)(x – 10) + 1 = (x – 9)²,  а во втором –  (x – 12)(x – 10) + 1 = (x – 11)².

   Второй способ. Подставив  x = 10,  получим  (b + 10)(с + 10) = 1.  Поэтому  b + 10 = c + 10 = ±1,  то есть либо  b = c = –9,  либо  b = c = – 11.  Подставив  x = 0,  получим 10a + 1 = bc,  откуда находим a.


Ответ

a = 8 или 12.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 7
Год 1941
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .