Задача 76494

Тема:    [ Построение треугольников по различным точкам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Построить треугольник ABC по трем точкам H₁, H₂ и H₃, которые являются симметричными отражениями точки пересечения высот искомого треугольника относительно его сторон.

Решение

Пусть точки H₁, H₂ и H₃ симметричны точке пересечения высот H относительно сторон BC, CA и AB. Построение легко вытекает из следующего факта: если треугольник ABC остроугольный, то его вершины являются точками пересечения описанной окружности треугольника H₁H₂H₃ с продолжениями его биссектрис, а если, например, угол A тупой, то из точки H₁ нужно снова провести биссектрису, а из точек H₂ и H₃ — биссектрисы внешних углов. Мы ограничимся разбором случая остроугольного треугольника. Углы BHC и CAB имеют перпендикулярные стороны, поэтому они составляют в сумме 180^o. Значит, BH₁C + BAC = 180^o, т.е. точка H₁ лежит на описанной окружности треугольника ABC. Аналогично доказывается, что точки H₂ и H₃ тоже лежат на описанной окружности треугольника ABC, поэтому описанные окружности треугольников ABC и H₁H₂H₃ совпадают. Далее, AH₁H₂ = ACH₂ = ACH₃ = AH₁H₃, поэтому H₁A — биссектриса треугольника H₁H₂H₃. Для H₂A и H₃A доказательство аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	7
Год	1941
вариант
Класс	7,8
Тур	2
задача
Номер	6