|
|
 |
Условие
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Решение
Пусть x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 = P(x)Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены с целыми коэффициентами. Ясно, что P(x) и Q(x) – многочлены со старшим коэффициентом 1. При x = 0, x = a, x = b и x = c имеет место равенство P(x)Q(x) = 1, то есть либо P(x) = Q(x) = 1, либо P(x) = Q(x) = –1. В обоих случаях P(x) – Q(x) = 0. Степень многочлена P(x) – Q(x) меньше четырёх, а он обращается в ноль в четырёх точках, поэтому P(x) = Q(x) для всех x. Таким образом, x(x – a)(x – b)(x – c) = P²(x) – 1 = (P(x) + 1)(P(x) – 1). Поэтому P(x) ± 1 = x(x – a) и то есть x(x – a) – (x – b)(x – c) = ±2 (мы не различаем решения, отличающиеся лишь перестановкой чисел a, b, c). Следовательно, a = b + c и –bc = ±2. В
результате получаем следующие наборы значений (a, b, c): (3, 2, 1), (–3, –2, –1), (–1, –2, 1), (1, 2, –1). Им соответствуют следующие разложения многочлена x(x – a)(x – b)(x – c) + 1: (x² – 3x + 1)², (x² + 3x + 1)², (x² + x – 1)², (x² – x – 1)².
