Задача 76498
|
|
 |
Условие
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
Решение 1
Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:
x² – (y + 1)x + y² – y = 0. Дискриминант этого уравнения равен
– 3y² + 6y + 1. Он отрицателен при y ≥ 3 и при y ≤ –1. Поэтому для y получаем три возможных значения: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений получаем уравнение, которое легко решается.
Решение 2
Правая часть неотрицательна, поэтому x + y ≥ 0.
Запишем уравнение в виде (x + y)² – (x + y) = 3xy. Согласно неравенству Коши xy ≤ ¼ (x + y)², откуда ½ (x + y)² ≤ x + y, то есть x + y ≤ 4. Подставляя x + y = 0, 1, 2, 3, 4, получим, что соответственно xy = 0, 0, ⅔, 2, 4. Теперь решения легко находятся.
Ответ
(0, 0), {0, 1}, {1, 2}, (2, 2).
