Лист клетчатой бумаги размером 5×n заполнен карточками размером 1×2 так, что каждая карточка занимает целиком две соседние клетки. На каждой карточке написаны числа 1 и –1. Известно, что произведения чисел по строкам и столбцам образовавшейся таблицы положительны. При каких n это возможно?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решить в целых числах уравнение  x + y = x² – xy + y².

Решение 1

Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:  x² – (y + 1)x + y² – y = 0.  Дискриминант этого уравнения равен
– 3y² + 6y + 1.  Он отрицателен при  y ≥ 3  и при  y ≤ –1.  Поэтому для y получаем три возможных значения: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений получаем уравнение, которое легко решается.

Решение 2

  Правая часть неотрицательна, поэтому  x + y ≥ 0.
  Запишем уравнение в виде  (x + y)² – (x + y) = 3xy.  Согласно неравенству Коши  xy ≤ ¼ (x + y)²,  откуда  ½ (x + y)² ≤ x + y,  то есть  x + y ≤ 4.  Подставляя  x + y = 0, 1, 2, 3, 4,  получим, что соответственно  xy = 0, 0, ⅔, 2, 4.  Теперь решения легко находятся.

Ответ

(0, 0),  {0, 1},  {1, 2},  (2, 2).

Источники и прецеденты использования