Задача 76507
|
|
 |
Условие
Найти трёхзначное число, всякая целая степень которого оканчивается на три
цифры, составляющие исходное число (в том же порядке).
Решение
Ответ: 376 и 625.
Пусть N — искомое число. Тогда
N2 - N = N(N - 1) делится на 1000. Числа N и
N - 1 взаимно простые, поэтому одно из них делится на 8, а другое на 125. Пусть
сначала N = 125k. Тогда k8. Среди чисел 125k - 1,
k = 1,..., 8, только
число 624 делится на 8. Пусть теперь N - 1 = 125k. Тогда N = 125k + 1, поэтому
k
7. Среди чисел 125k + 1,
k = 1,..., 7, только число 376 делится на 8.
Если
N2 - N = N(N - 1) делится на 1000, то
Nk - N = N(Nk - 1 - 1) тоже делится на
1000, поскольку Nk - 1 - 1 делится на N - 1.
