Задача 76509

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Прямоугольный треугольник ABC движется по плоскости так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек A является отрезок и найти его длину.

Решение

Пусть O — вершина данного прямого угла. Точки O и A лежат на окружности с диаметром BC, поэтому AOB = ACB = C. Из этого следует, что точка A движется по прямой, образующей со стороной данного прямого угла угол, равный C. В крайних положениях расстояния от точки A до точки O равны гипотенузе BC и наименьшему катету BA. Действительно, OA = BC sin, где = OCA. Угол изменяется от C до 90^o + C = 180^o - B, поэтому наибольшее значение sin равно 1, а наименьшее значение равно наименьшему из чисел sin C и sin B. Таким образом, длина отрезка, по которому движется точка A, равна разности между длиной гипотенузы и длиной наименьшего катета прямоугольного треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	8
Год	1945
вариант
Класс	9,10
Тур	1
задача
Номер	4