Информация о задаче

Задача 76515

Темы:	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Некоторые из чисел a₁, a₂,...a_n равны +1, остальные равны -1. Доказать, что

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right.$ a₁ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_n}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ =

= a₁ $\displaystyle \sqrt{2+a_2\sqrt{2+a_3\sqrt{2+\dots +a_n\sqrt{2}}}}$ .

В частности, при a₁ = a₂ = ... = a_n = 1, имеем:

2 sin $\displaystyle \left(\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right.$ 1 + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{2^{n-1}}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots +\frac{1}{2^{n-1}}}\right)$ $\displaystyle {\frac{\pi}{4}}$ = 2 cos $\displaystyle {\frac{\pi}{2^{n+1}}}$ =

= $\displaystyle \sqrt{2+\sqrt{2+\dots +\sqrt{2}}}$ .

Решение

Применим индукцию по n. При n = 1 получаем очевидное тождество. Равенство
$\begin{align*} &2\left ( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\frac... ...frac{a_2a_3\cdot\ldots\cdot a_{n+1}}{2^{n-1}}\right )\frac{\pi}{4} \end{align*}$
показывает, что
$\begin{align*} &\cos 2\left ( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +... ...rac{a_2a_3\cdot\ldots\cdot a_{n+1}}{2^{n-1}}\right )\frac{\pi}{4}. \end{align*}$
Воспользовавшись этой формулой и тождеством 2 sin ${\frac{\alpha}{2}}$ = ± $\sqrt{2-2\cos\alpha}$ , получим
$\begin{align*} &2\sin\left ( a_1+\frac{a_1a_2}{2}+\frac{a_1a_2a_3}{4}+\dots +\... ...a_2a_3\cdot\ldots\cdot a_na_{n+1}}{2^{n-1}}\right )\frac{\pi}{4}}. \end{align*}$
Нетрудно также убедиться, что в действительности всегда берётся знак плюс, поскольку знак числа a₁ + ${\frac{a_1a_2}{2}}$ + ${\frac{a_1a_2a_3}{4}}$ + ... + ${\frac{a_1a_2\cdot\ldots\cdot a_na_{n+1}}{2^{n}}}$ совпадает со знаком числа a₁. Теперь, воспользовавшись предположением индукции, получаем требуемое тождество.

Источники и прецеденты использования


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	8
Год	1945
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	2