Задача 76516

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Окружность радиуса, равного высоте некоторого правильного треугольника, катится по стороне этого треугольника. Доказать, что дуга, высекаемая сторонами треугольника на окружности, всё время равна 60^o.

Решение

Обозначим угловую величину дуги, высекаемой сторонами данного правильного треугольника ABC, через . Будем предполагать, что окружность касается стороны BC. Рассмотрим дугу, высекаемую продолжениями сторон треугольника ABC на окружности, и обозначим её угловую величину через . Тогда ( + )/2 = BAC = 60^o. Но = , так как эти дуги симметричны относительно прямой, проходящей через центр окружности параллельно стороне BC. Поэтому = = 60^o.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	8
Год	1945
вариант
Класс	9,10
Тур	2
задача
Номер	3