ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 76531
Темы:    [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Проективная плоскость с конечным числом точек ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автобусная сеть города устроена следующим образом:
  1) с каждой остановки на любую другую остановку можно попасть без пересадки;
  2) для каждой пары маршрутов найдётся, и притом единственная, остановка, на которой можно пересесть с одного из этих маршрутов на другой;
  3) на каждом маршруте ровно три остановки.
Сколько автобусных маршрутов в городе? (Известно, что их больше одного.)

Решение

  Пусть a – один из маршрутов, B – остановка, через которую маршрут a не проходит. Каждый маршрут, проходящий через B, пересекает маршрут a. При этом два разных маршрута, проходящих через B, пересекают a по разным остановкам (иначе они имели бы две общие остановки, что противоречит условию 2). Поэтому через B проходит ровно три маршрута.
  На каждом из них есть по две остановки, отличных от B. Значит, всего в городе 7 остановок. Через каждую пару остановок (а их 21) проходит единственный маршрут, при этом на каждом маршруте – три пары остановок. Следовательно, всего маршрутов  21 : 3 = 7.


Ответ

7 маршрутов.

Замечания

См. также решение задачи 76535.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 9
Год 1946
вариант
Класс 7,8
Тур 2
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .